2018世界杯十六进八规则(中学生课外读物《数的产生与发展》(数的进位制))

中学生课外读物《数的产生与发展》(数的进位制)

1.进位制研究的背景

上世纪由于计算机的发展,为了使芯片能机械化进行计算,人们发明了二进制计数法,并从理论上完善了数的进位制问题研究。

2.十进制数含义

我们知道,我们计数以数(动词)数(名词)开始,并知道满10进1,即记数的一个位上有10种不同状态:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,超出9的数就要向上进位,变成多位数。如:9+9=18(进位后出现十位),20+55=75(十位上,个位上均无进位),75+25=100(十位上,个位上均有进位)。

这种表示数的方法叫做计数的十进制,相应数值叫十进制数。

一般地有:十进制数(a1)(a2)(a3)(a4)…(an).(b1)(b2)…(bm)…

=(a1)×10^(n-1)+(a2)×10^(n-2)+(a3)×10^(n-3)+…+(a1)×10^(1-1)+(b1)÷10^1+(b2)÷10^2+(b3)÷10^3+…+(bm)÷10^m+…

如:

135=1×100+3×10+5×1,

4.215709=4×1+2÷10+1÷100+5÷1000+7÷10000+0+9÷1000000。

可见,十进制数实际上是一种缩写形式。

如:一个数为3×1000+5×100+7+9÷1000,可以简记名3507.009。

3.二进制

若一个位上只有两个不同数(常用0,1),满2进1(即2用10来表示),以后都遵循满2进1的规则来记数,则出现一新形式数,叫二进制数。为了与十进制数加以区别,常在数后面写上2。

这样一来,有:

1=1(2),2=10(2),

3=11(2),4=100(2),

5=101(2),6=110(2),

7=111(2),8=1000(2),

9=1001(2),10=1010(2),

11=1011(2),12=1100(2),

13=1101(2),14=1110(2)。

可以看出:

2=10(2),

4=100(2),

8=1000(2),

16=10000(2),

32=100000(2),

1/2=0.5=0.1(2),

1/4=0.25=0.01(2),

1/8=0.125=0.001(2),

1/16=0.0625=0.0001(2),

1/32=0.03125=0.00001(2),


∴反过来,100101(2)=32+4+1=37,

1001.01(2)=8+1+1/4=9.25,

101101.0111(2)

=32+8+4+1+1/4+1/8+1/16=9.25

=43+7/16。

一般地有:二进制数(a1)(a2)(a3)(a4)…(an).(b1)(b2)…(bm)…

化为十进制数为(a1)×2^(n-1)+(a2)×2^(n-2)+(a3)×2^(n-3)+…+(a1)×2^(1-1)+(b1)÷2^1+(b2)÷2^2+(b3)÷2^3+…+(bm)÷2^m+…

上述式子可直接将二进制数化为十进制数。

若要将十进制整数转化为二进制数,可用十进制整数,在整数范围内去除以2,将得到的商去除以2,再将得到的商再除以2,一直进行到商为0止,最后将所得余数按从后到前的顺序排列起来,就是这个十进制整数的二进制数。

如:

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4.三进制

在数(动词)数(名词)中,以满3进位的方式来记数,就得到三进制数。为了与其它进制数加以区别,常在数后面写上3。

这样一来,正整数从小到大用三进制数表示为:


1=1(3),2=2(3),


3=10(3),4=11(3),


5=12(3),6=20(3),


7=21(3),8=22(3),


9=100(3),10=101(3),


11=102(3),12=110(3),


13=111(3),14=112(3)。


可以看出:


3=10(3),


3^2=9=100(3),


3^3=27=1000(3),


3^4=81=10000(3),


3^5=243=100000(3),



1/3=0.1(3),


1/9=0.01(3),


1/27=0.001(3),


1/81=0.0001(3),


1/243=0.00001(3),



∴反过来,100101(3)=243+9+1=253,


1001.01(3)=27+1+1/9=28(1/9),

一般地有:三进制数(a1)(a2)(a3)(a4)…(an).(b1)(b2)…(bm)…


化为十进制数为(a1)×3^(n-1)+(a2)×3^(n-2)+(a3)×3^(n-3)+…+(a1)×3^(1-1)+(b1)÷3^1+(b2)÷3^2+(b3)÷3^3+…+(bm)÷3^m+…


上述式子可直接将三进制数化为十进制数。


若要将十进制整数转化为三进制数,可用十进制整数,在整数范围内去除以3,将得到的商去除以3,再将得到的商再除以2,一直进行到商为0止,最后将所得余数按从后到前的顺序排列起来,就是这个十进制整数的三进制数。

如:

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5.p进制


在数(动词)数(名词)中,以满p进位的方式来记数,就得到p进制数。为了与其它进制数加以区别,常在数后面写上p。

如十六进制数,一位上要有十六个状态,常用0,1,2,3,…,9,A,B,C,D,E,表示十进制数0到16。然后遵循满16进1规则记数。

∴2105(16)

=2×16^3+1×16^2+0+5

=8453,

BE3(16)

=12×16^2+15x16+3

=3,315。

353=1×16^2+6×16+1

=161(16)。

一般情况,自己总结结论。

6.不同进制数的转换

如上先将一个某进制数化为十进制数,然后将得到的十进制数化成另一进制数即可。

如:2A(16)

=2×16+11

=43=1×6^2+1×6+1

=111(6)。

等等。不再赘述。