中学生课外读物《数的产生与发展》(数的进位制)
1.进位制研究的背景
上世纪由于计算机的发展,为了使芯片能机械化进行计算,人们发明了二进制计数法,并从理论上完善了数的进位制问题研究。
2.十进制数含义
我们知道,我们计数以数(动词)数(名词)开始,并知道满10进1,即记数的一个位上有10种不同状态:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,超出9的数就要向上进位,变成多位数。如:9+9=18(进位后出现十位),20+55=75(十位上,个位上均无进位),75+25=100(十位上,个位上均有进位)。
这种表示数的方法叫做计数的十进制,相应数值叫十进制数。
一般地有:十进制数(a1)(a2)(a3)(a4)…(an).(b1)(b2)…(bm)…
=(a1)×10^(n-1)+(a2)×10^(n-2)+(a3)×10^(n-3)+…+(a1)×10^(1-1)+(b1)÷10^1+(b2)÷10^2+(b3)÷10^3+…+(bm)÷10^m+…
如:
135=1×100+3×10+5×1,
4.215709=4×1+2÷10+1÷100+5÷1000+7÷10000+0+9÷1000000。
可见,十进制数实际上是一种缩写形式。
如:一个数为3×1000+5×100+7+9÷1000,可以简记名3507.009。
3.二进制
若一个位上只有两个不同数(常用0,1),满2进1(即2用10来表示),以后都遵循满2进1的规则来记数,则出现一新形式数,叫二进制数。为了与十进制数加以区别,常在数后面写上2。
这样一来,有:
1=1(2),2=10(2),
3=11(2),4=100(2),
5=101(2),6=110(2),
7=111(2),8=1000(2),
9=1001(2),10=1010(2),
11=1011(2),12=1100(2),
13=1101(2),14=1110(2)。
可以看出:
2=10(2),
4=100(2),
8=1000(2),
16=10000(2),
32=100000(2),
…
1/2=0.5=0.1(2),
1/4=0.25=0.01(2),
1/8=0.125=0.001(2),
1/16=0.0625=0.0001(2),
1/32=0.03125=0.00001(2),
…
∴反过来,100101(2)=32+4+1=37,
1001.01(2)=8+1+1/4=9.25,
101101.0111(2)
=32+8+4+1+1/4+1/8+1/16=9.25
=43+7/16。
一般地有:二进制数(a1)(a2)(a3)(a4)…(an).(b1)(b2)…(bm)…
化为十进制数为(a1)×2^(n-1)+(a2)×2^(n-2)+(a3)×2^(n-3)+…+(a1)×2^(1-1)+(b1)÷2^1+(b2)÷2^2+(b3)÷2^3+…+(bm)÷2^m+…
上述式子可直接将二进制数化为十进制数。
若要将十进制整数转化为二进制数,可用十进制整数,在整数范围内去除以2,将得到的商去除以2,再将得到的商再除以2,一直进行到商为0止,最后将所得余数按从后到前的顺序排列起来,就是这个十进制整数的二进制数。
如:
4.三进制
在数(动词)数(名词)中,以满3进位的方式来记数,就得到三进制数。为了与其它进制数加以区别,常在数后面写上3。
这样一来,正整数从小到大用三进制数表示为:
1=1(3),2=2(3),
3=10(3),4=11(3),
5=12(3),6=20(3),
7=21(3),8=22(3),
9=100(3),10=101(3),
11=102(3),12=110(3),
13=111(3),14=112(3)。
可以看出:
3=10(3),
3^2=9=100(3),
3^3=27=1000(3),
3^4=81=10000(3),
3^5=243=100000(3),
…
1/3=0.1(3),
1/9=0.01(3),
1/27=0.001(3),
1/81=0.0001(3),
1/243=0.00001(3),
…
∴反过来,100101(3)=243+9+1=253,
1001.01(3)=27+1+1/9=28(1/9),
一般地有:三进制数(a1)(a2)(a3)(a4)…(an).(b1)(b2)…(bm)…
化为十进制数为(a1)×3^(n-1)+(a2)×3^(n-2)+(a3)×3^(n-3)+…+(a1)×3^(1-1)+(b1)÷3^1+(b2)÷3^2+(b3)÷3^3+…+(bm)÷3^m+…
上述式子可直接将三进制数化为十进制数。
若要将十进制整数转化为三进制数,可用十进制整数,在整数范围内去除以3,将得到的商去除以3,再将得到的商再除以2,一直进行到商为0止,最后将所得余数按从后到前的顺序排列起来,就是这个十进制整数的三进制数。
如:
5.p进制
在数(动词)数(名词)中,以满p进位的方式来记数,就得到p进制数。为了与其它进制数加以区别,常在数后面写上p。
如十六进制数,一位上要有十六个状态,常用0,1,2,3,…,9,A,B,C,D,E,表示十进制数0到16。然后遵循满16进1规则记数。
∴2105(16)
=2×16^3+1×16^2+0+5
=8453,
BE3(16)
=12×16^2+15x16+3
=3,315。
353=1×16^2+6×16+1
=161(16)。
一般情况,自己总结结论。
6.不同进制数的转换
如上先将一个某进制数化为十进制数,然后将得到的十进制数化成另一进制数即可。
如:2A(16)
=2×16+11
=43=1×6^2+1×6+1
=111(6)。
等等。不再赘述。