十大足球直播推荐中学生课外读物《数的产生与发展》（数的进位制）
1.进位制研究的背景
上世纪由于计算机的发展，为了使芯片能机械化进行计算，人们发明了二进制计数法，并从理论上完善了数的进位制问题研究。
2.十进制数含义
我们知道，我们计数以数（动词）数（名词）开始，并知道满10进1，即记数的一个位上有10种不同状态：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，超出9的数就要向上进位，变成多位数。如：9＋9＝18（进位后出现十位），20＋55＝75（十位上，个位上均无进位），75＋25＝100（十位上，个位上均有进位）。
这种表示数的方法叫做计数的十进制，相应数值叫十进制数。
一般地有：十进制数（a1）（a2）（a3）（a4）…（an）.（b1）（b2）…（bm）…
＝（a1）×10＾（n-1）＋（a2）×10＾（n-2）＋（a3）×10＾（n-3）＋…＋（a1）×10＾（1-1）＋（b1）÷10＾1＋（b2）÷10＾2＋（b3）÷10＾3＋…＋（bm）÷10＾m＋…
如：
135＝1×100＋3×10＋5×1，
4.215709＝4×1＋2÷10＋1÷100＋5÷1000＋7÷10000＋0＋9÷1000000。
可见，十进制数实际上是一种缩写形式。
如：一个数为3×1000＋5×100＋7＋9÷1000，可以简记名3507.009。
3.二进制
若一个位上只有两个不同数（常用0，1），满2进1（即2用10来表示），以后都遵循满2进1的规则来记数，则出现一新形式数，叫二进制数。为了与十进制数加以区别，常在数后面写上2。
这样一来，有：
1＝1（2），2＝10（2），
3＝11（2），4＝100（2），
5＝101（2），6＝110（2），
7＝111（2），8＝1000（2），
9＝1001（2），10＝1010（2），
11＝1011（2），12＝1100（2），
13＝1101（2），14＝1110（2）。
可以看出：
2＝10（2），
4＝100（2），
8＝1000（2），
16＝10000（2），
32＝100000（2），
…
1／2＝0.5＝0.1（2），
1／4＝0.25＝0.01（2），
1／8＝0.125＝0.001（2），
1／16＝0.0625＝0.0001（2），
1／32＝0.03125＝0.00001（2），
…
∴反过来，100101（2）＝32＋4＋1＝37，
1001.01（2）＝8＋1＋1／4＝9.25，
101101.0111（2）
＝32＋8＋4＋1＋1／4＋1／8＋1／16＝9.25
＝43＋7／16。
一般地有：二进制数（a1）（a2）（a3）（a4）…（an）.（b1）（b2）…（bm）…
化为十进制数为（a1）×2＾（n-1）＋（a2）×2＾（n-2）＋（a3）×2＾（n-3）＋…＋（a1）×2＾（1-1）＋（b1）÷2＾1＋（b2）÷2＾2＋（b3）÷2＾3＋…＋（bm）÷2＾m＋…
上述式子可直接将二进制数化为十进制数。
若要将十进制整数转化为二进制数，可用十进制整数，在整数范围内去除以2，将得到的商去除以2，再将得到的商再除以2，一直进行到商为0止，最后将所得余数按从后到前的顺序排列起来，就是这个十进制整数的二进制数。
如：
4.三进制
在数（动词）数（名词）中，以满3进位的方式来记数，就得到三进制数。为了与其它进制数加以区别，常在数后面写上3。
这样一来，正整数从小到大用三进制数表示为：
1＝1（3），2＝2（3），
3＝10（3），4＝11（3），
5＝12（3），6＝20（3），
7＝21（3），8＝22（3），
9＝100（3），10＝101（3），
11＝102（3），12＝110（3），
13＝111（3），14＝112（3）。
可以看出：
3＝10（3），
3＾2＝9＝100（3），
3＾3＝27＝1000（3），
3＾4＝81＝10000（3），
3＾5＝243＝100000（3），
…
1／3＝0.1（3），
1／9＝0.01（3），
1／27＝0.001（3），
1／81＝0.0001（3），
1／243＝0.00001（3），
…
∴反过来，100101（3）＝243＋9＋1＝253，
1001.01（3）＝27＋1＋1／9＝28（1／9），
一般地有：三进制数（a1）（a2）（a3）（a4）…（an）.（b1）（b2）…（bm）…
化为十进制数为（a1）×3＾（n-1）＋（a2）×3＾（n-2）＋（a3）×3＾（n-3）＋…＋（a1）×3＾（1-1）＋（b1）÷3＾1＋（b2）÷3＾2＋（b3）÷3＾3＋…＋（bm）÷3＾m＋…
上述式子可直接将三进制数化为十进制数。
若要将十进制整数转化为三进制数，可用十进制整数，在整数范围内去除以3，将得到的商去除以3，再将得到的商再除以2，一直进行到商为0止，最后将所得余数按从后到前的顺序排列起来，就是这个十进制整数的三进制数。
如：
5.p进制
在数（动词）数（名词）中，以满p进位的方式来记数，就得到p进制数。为了与其它进制数加以区别，常在数后面写上p。
如十六进制数，一位上要有十六个状态，常用0，1，2，3，…，9，A，B，C，D，E，表示十进制数0到16。然后遵循满16进1规则记数。
∴2105（16）
＝2×16＾3＋1×16＾2＋0＋5
＝8453，
BE3（16）
＝12×16＾2＋15x16＋3
＝3,315。
353＝1×16＾2＋6×16＋1
＝161（16）。
一般情况，自己总结结论。
6.不同进制数的转换
如上先将一个某进制数化为十进制数，然后将得到的十进制数化成另一进制数即可。
如：2A（16）
＝2×16＋11
＝43＝1×6＾2＋1×6＋1
＝111（6）。
等等。不再赘述。
