历届世界杯积分可视化(可视化图形下的“求导和分部积分”的形象原理)

分部积分法是微积分中的的一个重要方法,了解其背后的原理机制非常重要,抛开课本用形象直观的可视化图形给你展示不一样的数学魅力。

下图是一个矩形Y(X)=G(X)xH(X),每条边可看做有关X的函数,它可以是线性的,也可以是非线性的,但你都可以把两者的相乘视作矩形的一种体现。

历届世界杯积分可视化(可视化图形下的“求导和分部积分”的形象原理)

这个矩形可以放大,也可以按一定比例缩小,但本质原理都是长宽的缩放,所以我们把宽增加一个微小的数量时,记做dH(X),把长增加一个微小的数量时,记做dG(X)

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最终的模型就是下图所示,随着X的变化增加,图中绿色区域的面积也随之改变

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那这两个区域的面积就是dG(X)xH(X) dH(X)xG(X),

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这个总和就是Y变化的数量,我们称之为dY(X),它就等于dY(X)=dG(X)xH(X) dH(X)xG(X)

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如果我们将等式两边除以dX,那么dY/dX就是我们所说的关于x的y的导数,dG/dX就是关于x的G的导数,dH/dX就是关于x的H的导数,我们就得到以下结果

历届世界杯积分可视化(可视化图形下的“求导和分部积分”的形象原理)

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但是注意到没有,矩形面积的增加并不完全等于dY(X)=dG(X)xH(X) dH(X)xG(X),我们没有考虑红色区域的面积dG(X)xdH(X)

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但dG(X)和dH(X)是非常小的数字,两个小的数字相乘甚至更小,当dX接近0时,dG(X)和dH(X)也接近0,所以红色矩形区域可以忽略不计

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分别不