历届世界杯积分可视化(可视化图形下的“求导和分部积分”的形象原理)

分部积分法是微积分中的的一个重要方法，了解其背后的原理机制非常重要，抛开课本用形象直观的可视化图形给你展示不一样的数学魅力。

下图是一个矩形Y(X)=G(X)xH(X),每条边可看做有关X的函数，它可以是线性的，也可以是非线性的，但你都可以把两者的相乘视作矩形的一种体现。

这个矩形可以放大，也可以按一定比例缩小，但本质原理都是长宽的缩放，所以我们把宽增加一个微小的数量时，记做dH(X),把长增加一个微小的数量时，记做dG(X)

最终的模型就是下图所示，随着X的变化增加，图中绿色区域的面积也随之改变

那这两个区域的面积就是dG(X)xH(X) dH(X)xG(X),

这个总和就是Y变化的数量，我们称之为dY(X)，它就等于dY(X)=dG(X)xH(X) dH(X)xG(X)

如果我们将等式两边除以dX，那么dY/dX就是我们所说的关于x的y的导数，dG/dX就是关于x的G的导数，dH/dX就是关于x的H的导数，我们就得到以下结果

但是注意到没有，矩形面积的增加并不完全等于dY(X)=dG(X)xH(X) dH(X)xG(X)，我们没有考虑红色区域的面积dG(X)xdH(X)

但dG(X）和dH(X)是非常小的数字，两个小的数字相乘甚至更小，当dX接近0时，dG(X）和dH(X)也接近0，所以红色矩形区域可以忽略不计

分别不